Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \arctan (e^{2 x})$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \arctan (e^{2 x})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ и $3$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{3}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{e^{2 x} \cdot 3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $e^{2 x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $2$ и $\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (3 e^{2 x})}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

Этап 5.6

Умножим $\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ на $1$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$