Математический анализ Примеры

$f (x) = - 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$

Этап 1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$ .

$- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = 3 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 6$ .

$- 30 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 30 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 6$ .

$- 30 (- 2 {(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 2$ на $- 30$ .

$60 ({(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} \cdot 3$

Этап 3.7.2

Умножим $3$ на $60$ .

$180 {(3 x - 6)}^{- 3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$180 \frac{1}{{(3 x - 6)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$180 \frac{1}{{(3 (x) - 6)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$180 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 2)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$180 \frac{1}{{(3 (x - 2))}^{3}}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $3 (x - 2)$ .

$180 \frac{1}{3^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 4.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$180 \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $9$ из $180$ .

$9 (20) \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $9$ из $27 {(x - 2)}^{3}$ .

$9 (20) \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 20 \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$20 \frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$

Этап 4.4

Объединим $20$ и $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{20}{3 {(x - 2)}^{3}}$