Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$0 + 3 + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 3.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$0 + 3 + x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{5}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{6} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.3

Объединим $3$ и $\frac{5}{6}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 \cdot 5}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$0 + 3 + x + \frac{15}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.5

Объединим $\frac{15}{6}$ и $x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{15 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $15$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $15 x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $\frac{1}{24}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{24} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{24}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.4

Объединим $\frac{4}{24}$ и $x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $\frac{1}{120}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{120} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

Этап 6.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{120}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

Этап 6.4

Объединим $\frac{5}{120}$ и $x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $5$ и $120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $120$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $0$ и $3$ .

$3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 3$