Математический анализ Примеры

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

Этап 1

Перепишем ${(8 - 5 x)}^{2}$ в виде $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 2

Развернем $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.2

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.3

Умножим $8$ на $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 3.2

Вычтем $40 x$ из $- 40 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Этап 4

По правилу суммы производная ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 8 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - 5 x$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $8 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.6

Умножим $- 5$ на $1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.7

Вычтем $5$ из $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.8

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $64 - 80 x + 25 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.3

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.4

Поскольку $- 80$ является константой относительно $x$ , производная $- 80 x$ по $x$ равна $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.8

Умножим $- 80$ на $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.9

Вычтем $80$ из $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.10

Умножим $2$ на $25$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (8 - 5 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.2

По правилу суммы производная $8 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.6

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.7

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.8

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 7$ на $- 80$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Этап 9.2.2

Умножим $50$ на $- 7$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

Этап 9.2.3

Вычтем $15$ из $560$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

Этап 9.2.4

Добавим $- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ и $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${(8 - 5 x)}^{2}$ в виде $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.2

Развернем $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Умножим $8$ на $8$ .

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.2

Умножим $- 5$ на $8$ .

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.3

Умножим $8$ на $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.3.2

Вычтем $40 x$ из $- 40 x$ .

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Умножим $- 15$ на $64$ .

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.5.2

Умножим $- 80$ на $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Этап 9.3.5.3

Умножим $25$ на $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

Этап 9.4

Добавим $- 960$ и $545$ .

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

Этап 9.5

Вычтем $350 x$ из $1200 x$ .

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$