Математический анализ Примеры

$h (x) = \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$ в виде ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = {(2 x - 3)}^{0.5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 0.5$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {u_{2}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.8

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- {(2 x - 3)}^{0.5 \cdot - 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.8.2

Умножим $0.5$ на $- 2$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.10

Добавим $2$ и $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.12

Умножим ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ на $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} {(2 x - 3)}^{- 0.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.13

Умножим ${(2 x - 3)}^{- 1}$ на ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перенесем ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ .

$- ({(2 x - 3)}^{- 0.5} {(2 x - 3)}^{- 1}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {(2 x - 3)}^{- 0.5 - 1} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 2.13.3

Вычтем $1$ из $- 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {u_{3}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)$

Этап 3.7

Добавим $2$ и $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Этап 3.9

Умножим ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ на $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} - \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}}$