Математический анализ Примеры

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \ln (6 t)$ и $g (t) = \ln (12 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{6 t}$ и $\ln (12 t)$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $6$ и $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ .

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{\ln (12 t)}{t}$ на $1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 4

Умножим $\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 6.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{12 t}$ и $\ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $t$ и $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.3

Поскольку $12$ является константой относительно $t$ , производная $12 t$ по $t$ равна $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.2

Объединим $- 12$ и $\frac{\ln (6 t)}{12}$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.3

Сократим общий множитель $- 12$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 \ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.4.3.2.4

Разделим $- \ln (6 t)$ на $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $6$ из $12 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Этап 10.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$