Математический анализ Примеры

$h (x) = 5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 5^{x}$ и $g (x) = 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x - 5$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.7

Добавим $3$ и $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 2.8

Перенесем $3$ влево от $5^{3 x - 5} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\log_{4} (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Этап 4.1.2

Производная $\log_{4} (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\frac{1}{u_{3} \ln (4)}$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{u_{3} \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{4} + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 4.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим $7$ на $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Этап 5.3

Избавимся от ненужных скобок.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} x (- \sin (x)) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) - e^{x \cos (x)} x \sin (x) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + (4 x^{3} + 7) \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)}$