Математический анализ Примеры

$h (x) = \ln (6 x + \sqrt{36 x^{2} - 2})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{36 x^{2} - 2}$ в виде ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{{(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 9.3

Перенесем ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Этап 10

По правилу суммы производная $36 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 11

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 13

Умножим $2$ на $36$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Этап 14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + 0))$

Этап 15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $72 x$ и $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x))$

Этап 15.2

Объединим $72$ и $\frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Этап 15.3

Объединим $\frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72 x}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 15.4

Вынесем множитель $2$ из $72 x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 16

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})})$

Этап 16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2

Умножим $6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3.2

Объединим.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.5

Сократим общий множитель ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Сократим общий множитель.

Этап 17.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.6

Вынесем множитель $6$ из ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Вынесем множитель $6$ из ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.6.2

Вынесем множитель $6$ из $36 x$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.6.3

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.7

Вынесем множитель ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1

Перенесем ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.7.2

Вынесем множитель ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ из $6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.7.3

Вынесем множитель ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.7.4

Вынесем множитель ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.8

Изменим порядок членов.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.9

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.10

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$