Математический анализ Примеры

$h (t) = \frac{5}{t^{\frac{1}{6}}} - \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}} - \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{\frac{1}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t^{\frac{1}{6}}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t^{\frac{1}{6}}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{6}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$5 (- t^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$5 (- t^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.2.3

Сократим общий множитель.

$5 (- t^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.2.4

Перепишем это выражение.

$5 (- t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$5 (- t^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{6}{6}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.9.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{- 5}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{- \frac{5}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.11

Объединим $\frac{1}{6}$ и $t^{- \frac{5}{6}}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} \frac{t^{- \frac{5}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.12

Объединим $\frac{t^{- \frac{5}{6}}}{6}$ и $t^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6}} t^{- \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13

Умножим $t^{- \frac{5}{6}}$ на $t^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.2

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.5

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$5 (- \frac{t^{\frac{- 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (- \frac{t^{- \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.14

Перенесем $t^{- \frac{7}{6}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.15

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.16

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ в виде ${(t^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 3.5.2

Умножим $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $- 2$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 3.5.2.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Этап 3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Этап 3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Этап 3.9.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{- 1}{5}}))$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{- \frac{1}{5}}))$

Этап 3.11

Объединим $\frac{4}{5}$ и $t^{- \frac{1}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} \frac{4 t^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Этап 3.12

Объединим $\frac{4 t^{- \frac{1}{5}}}{5}$ и $t^{- \frac{8}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{1}{5}} t^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Этап 3.13

Умножим $t^{- \frac{1}{5}}$ на $t^{- \frac{8}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Перенесем $t^{- \frac{8}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 (t^{- \frac{8}{5}} t^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Этап 3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Этап 3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Этап 3.13.4

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Этап 3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Этап 3.14

Перенесем $t^{- \frac{9}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}})$

Этап 3.15

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + 4 \frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Этап 3.16

Объединим $4$ и $\frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{4 \cdot 4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Этап 3.17

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{16}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{16}{5 t^{\frac{9}{5}}} - \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}}$