Математический анализ Примеры

$h (t) = \frac{- 0.05 t^{2}}{2 t + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d t} [- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}]$

Этап 1.2

Поскольку $- 0.05$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}$ по $t$ равна $- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{2 \cdot (2 t + 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Объединим $- 0.05$ и $\frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 3.8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{0.05 ((2 (2 t) + 2 \cdot 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 (t \cdot t))) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 t^{2})) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{0.05 (4 t^{2}) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $4$ на $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Умножим $2$ на $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Умножим $- 2$ на $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t - 0.1 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $0.1 t^{2}$ из $0.2 t^{2}$ .

$- \frac{0.1 t^{2} + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $0.1 t$ из $0.1 t^{2} + 0.1 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $0.1 t$ из $0.1 t^{2}$ .

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $0.1 t$ из $0.1 t$ .

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t (1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $0.1 t$ из $0.1 t (t) + 0.1 t (1)$ .

$- \frac{0.1 t (t + 1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$