Математический анализ Примеры

$h (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + t - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t^{2} + t - 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $t^{2} + t - 2$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + t - 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $t^{2} + t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + 0)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 t + 1$ и $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t^{2} + 2 t + 2 \cdot - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим противоположные члены в $2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $2 t^{3}$ из $2 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t + 0 - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $2 t^{2} - 4 t$ и $0$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} - 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $t$ из $- 4 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 4}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разложим $t^{2} + t - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 3.6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{t (t - 4)}{{((t - 1) (t + 2))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим правило умножения к $(t - 1) (t + 2)$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t - 1)}^{2} {(t + 2)}^{2}}$