Математический анализ Примеры

$h (t) = \frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{6 t^{2}}$ по $t$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{9} - 7 t^{3} + 6 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{9}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} - 7 t^{3} + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 7 t^{3}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + 6 t^{2}}{t^{2}}]$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $6 t^{2}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} t^{7} + t^{2} (- 7 t)$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6}{t^{2}}]$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} (t^{7} - 7 t) + t^{2} \cdot 6$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t^{7} - 7 t + 6)}{t^{2}}]$

Этап 2.2.2

Разделим $t^{7} - 7 t + 6$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [t^{7} - 7 t + 6]$

Этап 3

По правилу суммы производная $t^{7} - 7 t + 6$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

Этап 5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])$

Этап 7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + \frac{d}{d t} [6])$

Этап 8

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7 + 0)$

Этап 9

Добавим $7 t^{6} - 7$ и $0$ .

$\frac{1}{6} (7 t^{6} - 7)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} (7 t^{6}) + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{6} t^{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{7}{6}$ и $t^{6}$ .

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 7$

Этап 10.2.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 7$ .

$\frac{7 t^{6}}{6} + \frac{- 7}{6}$

Этап 10.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7 t^{6}}{6} - \frac{7}{6}$