Математический анализ Примеры

$h (t) = {(t^{2} + t)}^{4} (2 t^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $2$ влево от ${(t^{2} + t)}^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = {(t^{2} + t)}^{4}$ и $g (t) = t^{2}$ .

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от ${(t^{2} + t)}^{4}$ .

$2 (2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} + t$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} + t$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $t^{2} + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + \frac{d}{d t} [t])))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 ({(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $2$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 (t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Этап 6.4

Вынесем множитель $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ из $4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ из $4 {(t^{2} + t)}^{4} t$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ из $8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ из $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.5

Изменим порядок множителей в $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$ .

$4 t {(t^{2} + t)}^{3} ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 t ({(t^{2})}^{3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 t (t^{2 \cdot 3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$4 t (t^{6} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{2 \cdot 2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{4} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.3

Умножим $t^{4}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Перенесем $t$ .

$4 t (t^{6} + 3 (t \cdot t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.3.2

Умножим $t$ на $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$4 t (t^{6} + 3 (t^{1} t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 t (t^{6} + 3 t^{1 + 4} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.4

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1

Перенесем $t^{2}$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 (t^{2} t^{2}) + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2 + 2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.7.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{4} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 t \cdot t^{6} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Умножим $t$ на $t^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Перенесем $t^{6}$ .

$(4 (t^{6} t) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.1.2

Умножим $t^{6}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(4 (t^{6} t^{1}) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 t^{6 + 1} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.1.3

Добавим $6$ и $1$ .

$(4 t^{7} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.4

Умножим $t$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.4.1

Перенесем $t^{3}$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t)) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.4.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t^{1})) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{3 + 1}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.9.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $t$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $t^{5}$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.1.2

Умножим $t^{5}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t^{1}) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{5 + 1} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.1.3

Добавим $5$ и $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.2

Умножим $4$ на $3$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.3

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Перенесем $t^{4}$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.3.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t^{1}) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4 + 1} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.3.3

Добавим $4$ и $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.10.4

Умножим $4$ на $3$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t \cdot t + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.11.2

Умножим $t$ на $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.11.3

Умножим $t$ на $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t + 1))$

Этап 6.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t) + 2 t \cdot 1)$

Этап 6.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1)$

Этап 6.11.6

Умножим $2$ на $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t)$

Этап 6.11.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.7.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.7.1.1

Перенесем $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t)$

Этап 6.11.7.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t^{2} + 2 t)$

Этап 6.11.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 4 t^{2} + 2 t)$

Этап 6.12

Добавим $t^{2}$ и $4 t^{2}$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + t + 2 t)$

Этап 6.13

Добавим $t$ и $2 t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$

Этап 6.14

Развернем $(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 t^{7} (5 t^{2}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 5 t^{7} t^{2} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.2

Умножим $t^{7}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$4 \cdot 5 (t^{2} t^{7}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cdot 5 t^{2 + 7} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.2.3

Добавим $2$ и $7$ .

$4 \cdot 5 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{7} t + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.5

Умножим $t^{7}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.5.1

Перенесем $t$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.5.2

Умножим $t$ на $t^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{1 + 7} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.5.3

Добавим $1$ и $7$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.6

Умножим $4$ на $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{6} t^{2} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.8

Умножим $t^{6}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.8.1

Перенесем $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{6}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{2 + 6} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.8.3

Добавим $2$ и $6$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.9

Умножим $12$ на $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{6} t + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.11

Умножим $t^{6}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.11.1

Перенесем $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.11.2

Умножим $t$ на $t^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.11.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{1 + 6} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.11.3

Добавим $1$ и $6$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.12

Умножим $12$ на $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{5} t^{2} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.14

Умножим $t^{5}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.14.1

Перенесем $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{5}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{2 + 5} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.14.3

Добавим $2$ и $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.15

Умножим $12$ на $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{5} t + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.17

Умножим $t^{5}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.17.1

Перенесем $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.17.2

Умножим $t$ на $t^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.17.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.17.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{1 + 5} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.17.3

Добавим $1$ и $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.18

Умножим $12$ на $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{4} t^{2} + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.20

Умножим $t^{4}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.20.1

Перенесем $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 (t^{2} t^{4}) + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{2 + 4} + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.20.3

Добавим $2$ и $4$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.21

Умножим $4$ на $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

Этап 6.15.22

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4} t$

Этап 6.15.23

Умножим $t^{4}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.23.1

Перенесем $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{4})$

Этап 6.15.23.2

Умножим $t$ на $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.23.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{4})$

Этап 6.15.23.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{1 + 4}$

Этап 6.15.23.3

Добавим $1$ и $4$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5}$

Этап 6.15.24

Умножим $4$ на $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Этап 6.16

Добавим $12 t^{8}$ и $60 t^{8}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Этап 6.17

Добавим $36 t^{7}$ и $60 t^{7}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Этап 6.18

Добавим $36 t^{6}$ и $20 t^{6}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 56 t^{6} + 12 t^{5}$