Математический анализ Примеры

$h (s) = \frac{s}{\sqrt{s} - 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s}{s^{\frac{1}{2}} - 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ имеет вид $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ , где $f (s) = s$ и $g (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $s^{\frac{1}{2}} - 1$ на $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $s^{\frac{1}{2}} - 1$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $s^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $s$ , производная $- 1$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ и $s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 10.3

Перенесем $s^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s \cdot s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 11

Умножим $s$ на $s^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $s$ на $s^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1} s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1 - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 11.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 11.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 12

Чтобы записать $s^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 13

Объединим $s^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 15

Перенесем $2$ влево от $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 16

Вычтем $s^{\frac{1}{2}}$ из $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 17

Умножим $\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 18

Объединим.

$\frac{2 (\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1)}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 20

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 20.2

Перепишем это выражение.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Этап 21

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$