Математический анализ Примеры

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ и $g (x) = x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 2.4.2

Умножим ${(x^{2} + 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $2$ влево от $x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

Этап 5.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перенесем $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

Этап 5.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

Этап 5.5

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

Этап 5.6

Развернем $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.3

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.6

Умножим $5$ на $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.7

Умножим $5$ на $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

Этап 5.7.8

Умножим $- 20$ на $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

Этап 5.8

Добавим $5 x^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$