Математический анализ Примеры

$h (x) = (5 x^{- 2} - 10 x + 7) {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{- 2} - 10 x + 7$ и $g (x) = {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{3} - 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $2$ влево от $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ .

$2 \cdot (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + 0) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.8

Добавим $3 x^{2} - 4$ и $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{- 2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.12

Умножим $- 2$ на $5$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.13

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.15

Умножим $- 10$ на $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 3.16

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + 0)$

Этап 3.17

Добавим $- 10 x^{- 3} - 10$ и $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (5 \frac{1}{x^{2}}) + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 \frac{5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{x^{2}}$ .

$(\frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$(\frac{10}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.4

Умножим $- 10$ на $2$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $7$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.6

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{- 10}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$(3 x^{2} - 4) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$