Математический анализ Примеры

$h (v) = \sqrt[3]{\frac{27}{p}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}} - 3$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{\frac{27}{p}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}} - 3$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [\sqrt[3]{\frac{27}{p}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt[3]{\frac{27}{p}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [\sqrt[3]{\frac{27}{p}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{27}{p}}$ в виде ${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ имеет вид $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ , где $f (p) = {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}$ и $g (p) = {(v + p)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(v + p)}^{\frac{1}{3}}] + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = p^{\frac{1}{3}}$ и $g (p) = v + p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $v + p$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d p} [v + p]) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d p} [v + p]) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $v + p$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d p} [v + p]) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $v + p$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [v] + \frac{d}{d p} [p]$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d p} [v] + \frac{d}{d p} [p])) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.5

Поскольку $v$ является константой относительно $p$ , производная $v$ относительно $p$ равна $0$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d p} [p])) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d p} [{(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{27}{p}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d p} [\frac{27}{p}]) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d p} [\frac{27}{p}]) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{27}{p}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d p} [\frac{27}{p}]) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.8

Поскольку $27$ является константой относительно $p$ , производная $\frac{27}{p}$ по $p$ равна $27 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}]$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}])) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.9

Перепишем $\frac{1}{p}$ в виде $p^{- 1}$ .

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.12

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.14.2

Вычтем $3$ из $1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 1)) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.16

Добавим $0$ и $1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(v + p)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.17

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(v + p)}^{- \frac{2}{3}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} (\frac{{(v + p)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.18

Умножим $\frac{{(v + p)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{{(v + p)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.19

Перенесем ${(v + p)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.20

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.21

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.22

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{1 - 3}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.23.2

Вычтем $3$ из $1$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{\frac{- 2}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} (27 (- p^{- 2}))) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.25

Умножим $- 1$ на $27$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} (- 27 p^{- 2})) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.26

Объединим $- 27$ и $\frac{1}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{- 27}{3} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} p^{- 2}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.27

Объединим $p^{- 2}$ и $\frac{- 27}{3}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{p^{- 2} \cdot - 27}{3} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.28

Перенесем $- 27$ влево от $p^{- 2}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{- 27 \cdot p^{- 2}}{3} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.29

Перенесем $p^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{- 27}{3 p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.30

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3 \cdot - 9}{3 p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.30.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 p^{2}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3 \cdot - 9}{3 (p^{2})} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.30.2.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3 \cdot - 9}{3 p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.30.2.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (\frac{- 9}{p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.31

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + {(v + p)}^{\frac{1}{3}} (- \frac{9}{p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.32

Объединим ${(v + p)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{9}{p^{2}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}} \cdot 9}{p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 2.33

Перенесем $9$ влево от ${(v + p)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d p} [- 3]$

Этап 3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $p$ , производная $- 3$ относительно $p$ равна $0$ .

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} {(\frac{27}{p})}^{- \frac{2}{3}} + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

${(\frac{27}{p})}^{\frac{1}{3}} \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} {(\frac{p}{27})}^{\frac{2}{3}} + 0$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{27}{p}$ .

$\frac{27^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} {(\frac{p}{27})}^{\frac{2}{3}} + 0$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{p}{27}$ .

$\frac{27^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{3 (\frac{1}{3})}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{3 (\frac{1}{3})}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.4

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{p^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.5

Умножим $\frac{3}{p^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{1}{3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{p^{\frac{1}{3}} (3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{p^{\frac{1}{3}} (3 {(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{27^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.8

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{{(3^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{3^{3 (\frac{2}{3})}} + 0$

Этап 4.4.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{3^{3 (\frac{2}{3})}} + 0$

Этап 4.4.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{3^{2}} + 0$

Этап 4.4.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{\frac{2}{3}}}{9} + 0$

Этап 4.4.12

Умножим $\frac{p^{\frac{2}{3}}}{9}$ на $\frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{2}}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{p^{\frac{2}{3}} (9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}})}{9 p^{2}} + 0$

Этап 4.4.13

Перенесем $p^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{2} p^{- \frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.14

Умножим $p^{2}$ на $p^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.14.1

Перенесем $p^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 (p^{- \frac{2}{3}} p^{2})} + 0$

Этап 4.4.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{- \frac{2}{3} + 2}} + 0$

Этап 4.4.14.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}} + 0$

Этап 4.4.14.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}} + 0$

Этап 4.4.14.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}} + 0$

Этап 4.4.14.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.14.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{\frac{- 2 + 6}{3}}} + 0$

Этап 4.4.14.6.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{\frac{4}{3}}} + 0$

Этап 4.4.15

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{9 {(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{9 p^{\frac{4}{3}}} + 0$

Этап 4.4.16

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} + 0$

Этап 4.4.17

Чтобы записать $\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} \cdot \frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} + 0$

Этап 4.4.18

Чтобы записать $- \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})} \cdot \frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.19.1

Умножим $\frac{1}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}})}$ на $\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{1}{3}} ({(v + p)}^{\frac{2}{3}}) p^{\frac{3}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19.2

Умножим $p^{\frac{1}{3}}$ на $p^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.19.2.1

Перенесем $p^{\frac{3}{3}}$ .

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3}} p^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{3 + 1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.19.3

Умножим $\frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}}}$ на $\frac{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{{(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{p^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{{(v + p)}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p^{\frac{3}{3}} - {(v + p)}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.21

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.21.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p^{\frac{3}{3}} - {(v + p)}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.21.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p^{1} - {(v + p)}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.22

Упростим.

$\frac{p - {(v + p)}^{\frac{1}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.23

Умножим ${(v + p)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(v + p)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.23.1

Перенесем ${(v + p)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{p - ({(v + p)}^{\frac{2}{3}} {(v + p)}^{\frac{1}{3}})}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.23.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{p - {(v + p)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.23.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p - {(v + p)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.23.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{p - {(v + p)}^{\frac{3}{3}}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.23.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{p - {(v + p)}^{1}}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.24

Упростим $- {(v + p)}^{1}$ .

$\frac{p - (v + p)}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 4.4.25

Добавим $\frac{p - (v + p)}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$\frac{p - (v + p)}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p - v - p}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5.2

Вычтем $p$ из $p$ .

$\frac{- v + 0}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5.3

Добавим $- v$ и $0$ .

$\frac{- v}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{v}{p^{\frac{4}{3}} {(v + p)}^{\frac{2}{3}}}$