Математический анализ Примеры

$p (x) = \frac{x - 4}{x^{3} - 16 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x^{3} - 16 x$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x^{3} - 16 x$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{3} - 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16 \cdot 1)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 16 x + (- x - - 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 16 x + (- x + 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- x + 4) (3 x^{2} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2} - 16) + 4 (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.4

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.6

Умножим $4$ на $- 16$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 16 x$ и $16 x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{3} + 0 + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x^{3} - 3 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{3} + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $3 x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2}) - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 64$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2})$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 2 (- 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 2 (- 32)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x^{2} - 16 x)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 16 x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 16)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x^{2} - 16))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x^{2} - 4^{2}))}^{2}}$

Этап 3.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Этап 3.4.4

Применим правило умножения к $x (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x + 4))}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x + x \cdot 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{2} + x \cdot 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{2} + 4 \cdot x)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Перепишем ${(x^{2} + 4 x)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Развернем $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} (x^{2} + 4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{2} x + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x)) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.10.2

Добавим $4 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.11

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.11.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x) + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.11.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x) + x^{2} \cdot 16) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.11.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} (x^{2} + 8 x) + x^{2} \cdot 16) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.11.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} + 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.12

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 8 x + 4^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.12.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 3.4.12.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.12.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2}) - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (32)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2} + 32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.10

Перепишем $- (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$ в виде $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$