Математический анализ Примеры

$P (x) = (\frac{4 x - 8}{8 x - 4})$

Этап 1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $4 x - 8$ и $8 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4})]$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4})]$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4})]$

Этап 1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4})]$

Этап 1.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)})]$

Этап 1.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Этап 1.1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Этап 1.1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [(\frac{x - 2}{2 x - 1})]$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4}]$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4}]$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4}]$

Этап 1.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4}]$

Этап 1.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)}]$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Этап 1.2.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Этап 1.2.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{2 x - 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 1 + 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$