Математический анализ Примеры

$P (t) = 2 {(8)}^{0.019 t}$

Этап 1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [2 {(2^{3})}^{0.019 t}]$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{0.019 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot 2^{3 (0.019 t)}]$

Этап 2.2

Умножим $0.019$ на $3$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot 2^{0.057 t}]$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d t} [2^{1 + 0.057 t}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = 2^{t}$ и $g (t) = 1 + 0.057 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 0.057 t$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 0.057 t$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) \frac{d}{d t} [1 + 0.057 t]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $1 + 0.057 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.057 t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.057 t])$

Этап 5.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (0 + \frac{d}{d t} [0.057 t])$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [0.057 t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) \frac{d}{d t} [0.057 t]$

Этап 5.4

Поскольку $0.057$ является константой относительно $t$ , производная $0.057 t$ по $t$ равна $0.057 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2^{1 + 0.057 t} \ln (2) (0.057 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.5

Упростим путем перемножения членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $0.057$ на $\ln (2)$ .

$2^{1 + 0.057 t} \cdot 0.03950938 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.5.2

Перенесем $0.03950938$ влево от $2^{1 + 0.057 t}$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t} \cdot 1$

Этап 5.7

Умножим $0.03950938$ на $1$ .

$0.03950938 \cdot 2^{1 + 0.057 t}$