Математический анализ Примеры

$P (t) = t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{3}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$4 t^{3} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 t^{3} + 5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{2}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{6}{7 t + 4}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{7 t + 4}$ в виде ${(7 t + 4)}^{- 1}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [{(7 t + 4)}^{- 1}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 7 t + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $7 t + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Этап 4.5

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]))$

Этап 4.7

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + 0))$

Этап 4.8

Умножим $7$ на $1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 + 0))$

Этап 4.9

Добавим $7$ и $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \cdot 7)$

Этап 4.10

Умножим $7$ на $- 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- 7 {(7 t + 4)}^{- 2})$

Этап 4.11

Умножим $- 7$ на $6$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 {(7 t + 4)}^{- 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 \frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 42$ и $\frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{- 42}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - \frac{42}{{(7 t + 4)}^{2}}$