Математический анализ Примеры

$N (t) = \frac{2500}{(1 + 20.7) {(e)}^{- 0.8 t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $1$ и $20.7$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2500}{21.7 {(e)}^{- 0.8 t}}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{2500}{21.7}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2500}{21.7 e^{- 0.8 t}}$ по $t$ равна $\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{e^{- 0.8 t}}]$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{e^{- 0.8 t}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{e^{- 0.8 t}}$ в виде ${(e^{- 0.8 t})}^{- 1}$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [{(e^{- 0.8 t})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 0.8 t})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [e^{- 0.8 t \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 0.8$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [e^{0.8 t}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 0.8 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.8 t$ .

$\frac{2500}{21.7} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{2500}{21.7} (e^{u} \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.8 t$ .

$\frac{2500}{21.7} (e^{0.8 t} \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $e^{0.8 t}$ и $\frac{2500}{21.7}$ .

$\frac{e^{0.8 t} \cdot 2500}{21.7} \frac{d}{d t} [0.8 t]$

Этап 3.2

Перенесем $2500$ влево от $e^{0.8 t}$ .

$\frac{2500 \cdot e^{0.8 t}}{21.7} \frac{d}{d t} [0.8 t]$

Этап 3.3

Поскольку $0.8$ является константой относительно $t$ , производная $0.8 t$ по $t$ равна $0.8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2500 e^{0.8 t}}{21.7} (0.8 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $0.8$ и $\frac{2500 e^{0.8 t}}{21.7}$ .

$\frac{0.8 (2500 e^{0.8 t})}{21.7} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.4.2

Умножим $2500$ на $0.8$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7}$ на $1$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7}$