Математический анализ Примеры

$k (x) = \frac{9 x + 3}{7 x^{2} + x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x + 3$ и $g (x) = 7 x^{2} + x$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [9 x + 3] - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 + 0) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) \cdot 9 - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $9$ влево от $7 x^{2} + x$ .

$\frac{9 \cdot (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $7 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (14 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (7 x^{2}) + 9 x - (9 x + 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (7 x^{2}) + 9 x + (- (9 x) - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- (9 x) - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- 9 x - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- 9 x - 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Развернем $(- 9 x - 3) (14 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x + 1) - 3 (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 x \cdot x - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 x^{2} - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.3

Умножим $- 9$ на $14$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.5

Умножим $14$ на $- 3$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 42 x - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Вычтем $42 x$ из $- 9 x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 51 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $126 x^{2}$ из $63 x^{2}$ .

$\frac{- 63 x^{2} + 9 x - 51 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $51 x$ из $9 x$ .

$\frac{- 63 x^{2} - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3$ из $- 63 x^{2} - 42 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 63 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 42 x$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x) - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (- 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x) + 3 (- 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 21 x^{2} - 14 x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x^{1})}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (7 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x + 1))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $x (7 x + 1)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 21 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2}) - 14 x - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 14 x$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2}) - (14 x) - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (21 x^{2}) - (14 x)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x) - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x) - 1 (1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (21 x^{2} + 14 x) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x + 1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.11

Перепишем $- (21 x^{2} + 14 x + 1)$ в виде $- 1 (21 x^{2} + 14 x + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (21 x^{2} + 14 x + 1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (21 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$