Математический анализ Примеры

$J (v) = (v^{3} - 2 v) (v^{- 4} + v^{- 2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ имеет вид $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ , где $f (v) = v^{3} - 2 v$ и $g (v) = v^{- 4} + v^{- 2}$ .

$(v^{3} - 2 v) \frac{d}{d v} [v^{- 4} + v^{- 2}] + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $v^{- 4} + v^{- 2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ .

$(v^{3} - 2 v) (\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $v^{3} - 2 v$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

Этап 2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $v$ , производная $- 2 v$ по $v$ равна $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \cdot 1)$

Этап 2.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{v^{5}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (\frac{- 4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.5.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{v^{3}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} + \frac{- 2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Развернем $(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{v^{5}} (v^{3} - 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{v^{5}}$ в числитель.

$\frac{- 4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.1.2

Вынесем множитель $v^{3}$ из $v^{5}$ .

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.3

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{v^{5}}$ в числитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.3.2

Вынесем множитель $v$ из $v^{5}$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.3.3

Вынесем множитель $v$ из $- 2 v$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.3.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.3.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{4}} \cdot - 2 - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.4

Объединим $\frac{- 4}{v^{4}}$ и $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4 \cdot - 2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.6

Сократим общий множитель $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{v^{3}}$ в числитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.7

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{v^{3}}$ в числитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.7.2

Вынесем множитель $v$ из $v^{3}$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.7.3

Вынесем множитель $v$ из $- 2 v$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.7.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.7.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{2}} \cdot - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.8

Объединим $\frac{- 2}{v^{2}}$ и $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2 \cdot - 2}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.1.9

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{4}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.2

Добавим $- \frac{4}{v^{2}}$ и $\frac{4}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 0 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.2.3

Добавим $\frac{8}{v^{4}}$ и $0$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.3

Развернем $(3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Этап 3.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $3 v^{2}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.1.2

Вынесем множитель $v^{2}$ из $v^{4}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 \frac{1}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $3 v^{2}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{v^{4}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 + \frac{- 2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{2}}$

Этап 3.7.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3 - 2}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

Этап 3.7.4.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{1}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 + 3 + \frac{8 - 2}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.9

Вычтем $2$ из $8$ .

$- 2 + 3 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

Этап 3.10

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$