Математический анализ Примеры

$H (z) = \frac{8 z - z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}$

Этап 1

Вычтем $z$ из $8 z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{7 z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = 7 z - 3 z^{2}$ и $g (z) = 2 + 9 z$ .

$\frac{(2 + 9 z) \frac{d}{d z} [7 z - 3 z^{2}] - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 z - 3 z^{2}$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $z$ , производная $7 z$ по $z$ равна $7 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $z$ , производная $- 3 z^{2}$ по $z$ равна $- 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 (2 z)) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $2 + 9 z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $2$ является константой относительно $z$ , производная $2$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (0 + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.11

Поскольку $9$ является константой относительно $z$ , производная $9 z$ по $z$ равна $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (9 \frac{d}{d z} [z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.12

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \cdot 1}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 3.14

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(2 + 9 z) (7 - 6 z)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (7 - 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{14 - 12 z + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.3

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z \cdot z - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.5

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 (z \cdot z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.5.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.6

Умножим $9$ на $- 6$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- 12 z$ и $63 z$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $7$ на $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 3$ на $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $63 z$ из $51 z$ .

$\frac{14 - 54 z^{2} - 12 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Добавим $- 54 z^{2}$ и $27 z^{2}$ .

$\frac{14 - 27 z^{2} - 12 z}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 27 z^{2} - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 27 z^{2}$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 z$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - (12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (27 z^{2}) - (12 z)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Перепишем $14$ в виде $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $- (27 z^{2} + 12 z - 14)$ в виде $- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)$ .

$\frac{- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27 z^{2} + 12 z - 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$