Математический анализ Примеры

$h (z) = \frac{1 - 2 z}{z^{2} - z - 6}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = 1 - 2 z$ и $g (z) = z^{2} - z - 6$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [1 - 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (0 + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [- 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $z$ , производная $- 2 z$ по $z$ равна $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \frac{d}{d z} [z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \cdot - 2 - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $z^{2} - z - 6$ .

$\frac{- 2 \cdot (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $z^{2} - z - 6$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 6$ является константой относительно $z$ , производная $- 6$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + 0)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.13

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $2 z - 1$ и $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.13.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.13.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 z$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - (2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (2 z)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1 + 2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 2.13.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 3

Возведем $2 z - 1$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} (2 z - 1))}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $2 z - 1$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} {(2 z - 1)}^{1})}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{1 + 1}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 8

Умножим ${(2 z - 1)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 z^{2} - 2 (- z) - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Перепишем ${(2 z - 1)}^{2}$ в виде $(2 z - 1) (2 z - 1)$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Развернем $(2 z - 1) (2 z - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z - 1) - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.2

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.5.1.2.1

Перенесем $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.2.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.1.5.2

Вычтем $2 z$ из $- 2 z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Добавим $- 2 z^{2}$ и $4 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} + 2 z + 12 - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.3

Вычтем $4 z$ из $2 z$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 12 + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.2.4

Добавим $12$ и $1$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разложим $z^{2} - z - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 9.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{((z - 3) (z + 2))}^{2}}$

Этап 9.3.2

Применим правило умножения к $(z - 3) (z + 2)$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z - 3)}^{2} {(z + 2)}^{2}}$