Математический анализ Примеры

$h (y) = y^{- 4} - 9 y + 8 y^{- 2} + 12$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $y^{- 4} - 9 y + 8 y^{- 2} + 12$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{- 4}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{- 4}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 4 y^{- 5} + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $y$ , производная $- 9 y$ по $y$ равна $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 2.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 + \frac{d}{d y} [8 y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [8 y^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8 y^{- 2}$ по $y$ равна $8 \frac{d}{d y} [y^{- 2}]$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 + 8 \frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 + 8 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 3.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 - 16 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [12]$

Этап 4

Поскольку $12$ является константой относительно $y$ , производная $12$ относительно $y$ равна $0$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 - 16 y^{- 3} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- 4 y^{- 5} - 9 - 16 y^{- 3}$ и $0$ .

$- 4 y^{- 5} - 9 - 16 y^{- 3}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$- 16 y^{- 3} - 4 y^{- 5} - 9$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{y^{3}} - 4 y^{- 5} - 9$

Этап 5.3.2

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{- 16}{y^{3}} - 4 y^{- 5} - 9$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{y^{3}} - 4 y^{- 5} - 9$

Этап 5.3.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{16}{y^{3}} - 4 \frac{1}{y^{5}} - 9$

Этап 5.3.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- \frac{16}{y^{3}} + \frac{- 4}{y^{5}} - 9$

Этап 5.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{y^{3}} - \frac{4}{y^{5}} - 9$