Математический анализ Примеры

$h (x) = x \tan (8 \sqrt{x}) + 8$

Этап 1

По правилу суммы производная $x \tan (8 \sqrt{x}) + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \tan (8 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (8 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \tan (8 \sqrt{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (8 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (8 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (8 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 8 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) (8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.13

Объединим $8$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.15

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.16

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.16.2

Сократим общий множитель.

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.16.3

Перепишем это выражение.

$x (\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.17

Объединим $\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.18

Перенесем $4$ влево от $\sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{4 \cdot \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.19

Объединим $x$ и $\frac{4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.20

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.21.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.22

Умножим $\tan (8 x^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $x^{\frac{1}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}})$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (4 \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$4 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (8 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (8 x^{\frac{1}{2}})$