Математический анализ Примеры

$q (t) = 20 (e^{- t} - e^{- 2 t})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $20$ является константой относительно $t$ , производная $20 (e^{- t} - e^{- 2 t})$ по $t$ равна $20 \frac{d}{d t} [e^{- t} - e^{- 2 t}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{- t} - e^{- 2 t}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $e^{- t} - e^{- 2 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- t$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$20 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- t$ .

$20 (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$20 (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$20 (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$20 (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- 2 t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ .

$20 (- e^{- t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 2 t$ .

$20 (- e^{- t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$20 (- e^{- t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 t$ .

$20 (- e^{- t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (- e^{- t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1)$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (- e^{- t}) + 20 (2 e^{- 2 t})$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 e^{- t} + 20 (2 e^{- 2 t})$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $20$ .

$- 20 e^{- t} + 40 e^{- 2 t}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$40 e^{- 2 t} - 20 e^{- t}$