Математический анализ Примеры

$Q (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r)$ и $g (r) = 3 r^{4} + 2 r - 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [3 r^{4} + 2 r - 1] + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 r^{4} + 2 r - 1$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3 r^{4}$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2 r$ по $r$ равна $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- 1$ относительно $r$ равна $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + 0) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 2.9

Добавим $12 r^{3} + 2$ и $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Этап 3

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) \frac{d}{d r} [r^{3} - r] + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $r^{3} - r$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- r$ по $r$ равна $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - \frac{d}{d r} [r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1 \cdot 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Этап 4.6

По правилу суммы производная $r^{2} + 1$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + \frac{d}{d r} [1]))$

Этап 4.8

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + 0))$

Этап 4.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Добавим $2 r$ и $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r))$

Этап 4.9.2

Перенесем $2$ влево от $r^{3} - r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 \cdot (r^{3} - r) r)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (2 r^{3} + 2 (- r)) r)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{3} r + 2 (- r) r)$

Этап 5.3

Возведем $r$ в степень $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 (r^{1} r^{3}) + 2 (- r) r)$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{1 + 3} + 2 (- r) r)$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} + 2 (- r) r)$

Этап 5.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r \cdot r)$

Этап 5.7

Возведем $r$ в степень $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r))$

Этап 5.8

Возведем $r$ в степень $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r^{1}))$

Этап 5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{1 + 1})$

Этап 5.10

Добавим $1$ и $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Этап 5.11

Вынесем множитель $1$ из $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Вынесем множитель $1$ из $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2)$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Этап 5.11.2

Вынесем множитель $1$ из $(3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

Этап 5.11.3

Вынесем множитель $1$ из $1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

Этап 5.12

Умножим $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ на $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Этап 5.13

Изменим порядок членов.

$(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Развернем $(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 r^{3} (r^{2} + 1) + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1

Умножим $r^{3}$ на $r^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1.1

Перенесем $r^{2}$ .

$(12 (r^{2} r^{3}) + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(12 r^{2 + 3} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.2.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.2.2

Умножим $12$ на $1$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.3

Развернем $(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$12 r^{5} r^{3} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.1

Умножим $r^{5}$ на $r^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.1.1

Перенесем $r^{3}$ .

$12 (r^{3} r^{5}) + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{3 + 5} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.1.3

Добавим $3$ и $5$ .

$12 r^{8} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{5} r + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.3

Умножим $r^{5}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.3.1

Перенесем $r$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.3.2

Умножим $r$ на $r^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.3.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 5} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.3.3

Добавим $1$ и $5$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.4

Умножим $12$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.5

Умножим $r^{3}$ на $r^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.5.1

Перенесем $r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 (r^{3} r^{3}) + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3 + 3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.5.3

Добавим $3$ и $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{3} r + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.7

Умножим $r^{3}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.7.1

Перенесем $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.7.2

Умножим $r$ на $r^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.7.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 3} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.7.3

Добавим $1$ и $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.8

Умножим $12$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.9

Умножим $r^{2}$ на $r^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.9.1

Перенесем $r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 (r^{3} r^{2}) + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{3 + 2} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.9.3

Добавим $3$ и $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{2} r + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.11

Умножим $r^{2}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.11.1

Перенесем $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r \cdot r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.11.2

Умножим $r$ на $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.4.11.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r^{1} r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{1 + 2} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.4.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.5

Объединим противоположные члены в $12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.5.1

Добавим $- 12 r^{6}$ и $12 r^{6}$ .

$12 r^{8} + 0 - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.5.2

Добавим $12 r^{8}$ и $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.5.3

Добавим $- 2 r^{3}$ и $2 r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 0 - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.5.4

Добавим $12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5}$ и $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.6.1

Развернем $(r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2} - 1) + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.2

Умножим $r^{2}$ на $r^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.6.2.1.2.1

Перенесем $r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 (r^{2} r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2 + 2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 \cdot r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.4

Перепишем $- 1 r^{2}$ в виде $- r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.5

Умножим $3 r^{2}$ на $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.6.2.2

Добавим $- r^{2}$ и $3 r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.7

Объединим противоположные члены в $3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.7.1

Вычтем $2 r^{2}$ из $2 r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4} + 0) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.7.2

Добавим $3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}$ и $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.8

Добавим $3 r^{4}$ и $2 r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Этап 5.14.9

Развернем $(5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 r^{4} (3 r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4} r^{4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.2

Умножим $r^{4}$ на $r^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.10.2.1

Перенесем $r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 (r^{4} r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4 + 4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.3

Умножим $5$ на $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{4} r + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.5

Умножим $r^{4}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.10.5.1

Перенесем $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r \cdot r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.5.2

Умножим $r$ на $r^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.10.5.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r^{1} r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{1 + 4} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.6

Умножим $5$ на $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r - 1 \cdot - 1$

Этап 5.14.10.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r + 1$

Этап 5.14.11

Вычтем $3 r^{4}$ из $- 5 r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

Этап 5.15

Добавим $12 r^{8}$ и $15 r^{8}$ .

$27 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

Этап 5.16

Вычтем $8 r^{4}$ из $- 12 r^{4}$ .

$27 r^{8} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 20 r^{4} - 2 r + 1$

Этап 5.17

Добавим $2 r^{5}$ и $10 r^{5}$ .

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 2 r - 20 r^{4} - 2 r + 1$

Этап 5.18

Вычтем $2 r$ из $- 2 r$ .

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 20 r^{4} - 4 r + 1$