Математический анализ Примеры

$r (t) = - 6 t {(5 x^{4} - 1)}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d t} [- 6 t ({(5 x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (5^{4} {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{4 \cdot 4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (5^{3} {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{4 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{12}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.7

Умножим $125$ на $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 500 x^{12} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $500$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.9

Применим правило умножения к $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (5^{2} {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.11

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{4 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.11.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{8}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.12

Умножим $25$ на $6$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} \cdot 1 + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.14

Умножим $150$ на $1$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.15

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.16

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.17

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + {(- 1)}^{4})]$

Этап 2.18

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)]$

Этап 3

Поскольку $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ по $t$ равна $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \cdot 1$

Этап 5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 (625 x^{16}) - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $625$ на $- 6$ .

$- 3750 x^{16} - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Этап 6.2.2

Умножим $- 500$ на $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Этап 6.2.3

Умножим $150$ на $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Этап 6.2.4

Умножим $- 20$ на $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6 \cdot 1$

Этап 6.2.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6$