Математический анализ Примеры

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Этап 1

По правилу суммы производная $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $i$ является константой относительно $t$ , производная $t^{2} i$ по $t$ равна $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $j$ является константой относительно $t$ , производная $(1 - t) j$ по $t$ равна $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.7

Вычтем $1$ из $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.8

Перенесем $- 1$ влево от $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 3.9

Перепишем $- 1 j$ в виде $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Этап 4.2

Объединим $\frac{2 t^{3}}{3}$ и $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Этап 4.3

Поскольку $\frac{2 k}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{2 t^{3} k}{3}$ по $t$ равна $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Этап 4.5

Объединим $3$ и $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{6 k}{3}$ и $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Этап 4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Этап 4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Этап 4.8.2.4

Разделим $2 k t^{2}$ на $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$