Математический анализ Примеры

$r (t) = e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $i$ является константой относительно $t$ , производная $e^{5 t} i$ по $t$ равна $i \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 5 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 t$ .

$i (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$i (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 t$ .

$i (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$i (e^{5 t} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$i (e^{5 t} \cdot 5) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 t}$ .

$i (5 \cdot e^{5 t}) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 2.7

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$5 i e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $j$ является константой относительно $t$ , производная $e^{5 t} \cos (t) j$ по $t$ равна $j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = e^{5 t}$ и $g (t) = \cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.3

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.7

Умножим $5$ на $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \cdot 5)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 3.8

Перенесем $5$ влево от $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $e^{5 t} \sin (t) k$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$

Этап 4.2

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Этап 4.3

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t]))$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Этап 4.5

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])))$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1)))$

Этап 4.7

Умножим $5$ на $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \cdot 5))$

Этап 4.8

Перенесем $5$ влево от $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t)) + k (\sin (t) (5 e^{5 t}))$

Этап 5.3

Избавимся от ненужных скобок.

$5 i e^{5 t} + j e^{5 t} (- \sin (t)) + j \cos (t) (5 e^{5 t}) + k e^{5 t} \cos (t) + k \sin (t) (5 e^{5 t})$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} - j e^{5 t} \sin (t) + 5 j e^{5 t} \cos (t) + k e^{5 t} \cos (t) + 5 k e^{5 t} \sin (t)$