Математический анализ Примеры

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{t}$ и $i$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 2.2

Поскольку $i$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{i}{t}$ по $t$ равна $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{1}{t}$ в виде $t^{- 1}$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $j$ является константой относительно $t$ , производная $\ln (t) j$ по $t$ равна $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 3.2

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 3.3

Объединим $j$ и $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $e^{2 t} k$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

Этап 4.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

Этап 4.7

Перенесем $2$ влево от $k$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Этап 5.2

Объединим $i$ и $\frac{1}{t^{2}}$ .

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ .

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$