Математический анализ Примеры

$g (y) = (3 y^{4} - y^{2}) (y^{2} - 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 3 y^{4} - y^{2}$ и $g (y) = y^{2} - 4$ .

$(3 y^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$(3 y^{4} - y^{2}) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y + \frac{d}{d y} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4$ относительно $y$ равна $0$ .

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 y$ и $0$ .

$(3 y^{4} - y^{2}) (2 y) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $3 y^{4} - y^{2}$ .

$2 \cdot (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) \frac{d}{d y} [3 y^{4} - y^{2}]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $3 y^{4} - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d y} [3 y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{4}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (3 \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (3 (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $3$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - (2 y))$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (3 y^{4} - y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (3 y^{4}) + 2 (- y^{2})) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3} - 2 y)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + (y^{2} - 4) (12 y^{3}) + (y^{2} - 4) (- 2 y)$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + (y^{2} - 4) (- 2 y)$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 y^{4}) y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 y^{4} y + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$6 (y^{1} y^{4}) + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 y^{1 + 4} + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.4

Добавим $1$ и $4$ .

$6 y^{5} + 2 (- y^{2}) y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 y^{5} - 2 y^{2} y + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$6 y^{5} - 2 (y^{1} y^{2}) + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 y^{5} - 2 y^{1 + 2} + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.8

Добавим $1$ и $2$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{2} (12 y^{3}) - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.9

Умножим $y^{2}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.9.1

Перенесем $y^{3}$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{3} y^{2} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{3 + 2} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.9.3

Добавим $3$ и $2$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + y^{5} \cdot 12 - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.10

Перенесем $12$ влево от $y^{5}$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 \cdot y^{5} - 4 (12 y^{3}) + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.11

Умножим $12$ на $- 4$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{2} (- 2 y) - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.12

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.12.1

Перенесем $y$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y \cdot y^{2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.12.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.12.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{1} y^{2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{1 + 2} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} + y^{3} \cdot - 2 - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.13

Перенесем $- 2$ влево от $y^{3}$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} - 2 \cdot y^{3} - 4 (- 2 y)$

Этап 3.6.14

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 48 y^{3} - 2 y^{3} + 8 y$

Этап 3.6.15

Вычтем $2 y^{3}$ из $- 48 y^{3}$ .

$6 y^{5} - 2 y^{3} + 12 y^{5} - 50 y^{3} + 8 y$

Этап 3.6.16

Добавим $6 y^{5}$ и $12 y^{5}$ .

$18 y^{5} - 2 y^{3} - 50 y^{3} + 8 y$

Этап 3.6.17

Вычтем $50 y^{3}$ из $- 2 y^{3}$ .

$18 y^{5} - 52 y^{3} + 8 y$