Математический анализ Примеры

$g (x) = x^{2} \log_{3} (\sqrt{x - 1})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{3} (x)$ и $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Производная $\log_{3} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 12

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 13

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 16.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 17

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 18

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 20

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 21

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 21.2

Умножим $\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2}}{(2 x + 2 \cdot - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Этап 23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Этап 23.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Этап 23.3.2

Чтобы записать $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \frac{\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Этап 23.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Этап 23.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 2 x (2 x \ln (3) - 2 \ln (3)) \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$