Математический анализ Примеры

$g (x) = 3 \sin (y) - y \cos (y)$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 \sin (y) - y \cos (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \cos (y)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 \sin (y)$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \cos (y)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (y)$ по $y$ равна $\cos (y)$ .

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \cos (y)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y \cos (y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y \cos (y)]$ .

$3 \cos (y) - \frac{d}{d y} [y \cos (y)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = \cos (y)$ .

$3 \cos (y) - (y \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3

Производная $\cos (y)$ по $y$ равна $- \sin (y)$ .

$3 \cos (y) - (y (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cos (y) - (y (- \sin (y)) + \cos (y) \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$3 \cos (y) - (y (- \sin (y)) + \cos (y))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cos (y) - (y (- \sin (y))) - \cos (y)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 \cos (y) + 1 (y (\sin (y))) - \cos (y)$

Этап 4.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$3 \cos (y) + y \sin (y) - \cos (y)$

Этап 4.2.3

Вычтем $\cos (y)$ из $3 \cos (y)$ .

$y \sin (y) + 2 \cos (y)$