Математический анализ Примеры

$g (x) = \sqrt{1 - x^{2}} \arccos (x)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arccos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \arccos (x)$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arccos (x)] + \arccos (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Производная $\arccos (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \arccos (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Объединим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.3

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $\arccos (x)$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 11

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 16.3

Объединим $\frac{- 2 \arccos (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arccos (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \arccos (x) x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arccos (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arccos (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arccos (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Чтобы записать $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Чтобы записать $- \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Умножим $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ на $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.6.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.6.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.7

Умножим $\frac{\arccos (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 21.8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 21.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 21.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 21.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.12.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 21.12.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 23

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 23.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 23.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 23.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 23.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- {(1 - x^{2})}^{1} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 24

Упростим $- {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- (1 - x^{2}) - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Этап 25

Упростим.

$\frac{- (1 - x^{2}) - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - - x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - - x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2.1.2

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 + 1 x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 1 + x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- 1 + x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{- 1 + x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.2.2

Изменим порядок множителей в $- 1 + x^{2} - \arccos (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{- 1 + x^{2} - x \arccos (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Этап 26.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arccos (x) - 1}{- x^{2} + 1}$