Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{9 x - 5}{7 x + 1} + x^{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{9 x - 5}{7 x + 1} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9 x - 5}{7 x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x - 5$ и $g (x) = 7 x + 1$ .

$\frac{(7 x + 1) \frac{d}{d x} [9 x - 5] - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $9 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x + 1) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) \frac{d}{d x} [7 x + 1]}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $7 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.7

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 \cdot 1 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.10

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{(7 x + 1) (9 + 0) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.11

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{(7 x + 1) \cdot 9 - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.12

Перенесем $9$ влево от $7 x + 1$ .

$\frac{9 \cdot (7 x + 1) - (9 x - 5) (7 \cdot 1 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.13

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - (9 x - 5) (7 + 0)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.14

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - (9 x - 5) \cdot 7}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.15

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{9 (7 x + 1) - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (7 x) + 9 \cdot 1 - 7 (9 x - 5)}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (7 x) + 9 \cdot 1 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{63 x + 9 \cdot 1 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{63 x + 9 - 7 (9 x) - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $9$ на $- 7$ .

$\frac{63 x + 9 - 63 x - 7 \cdot - 5}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.4

Умножим $- 7$ на $- 5$ .

$\frac{63 x + 9 - 63 x + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.5

Вычтем $63 x$ из $63 x$ .

$\frac{0 + 9 + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $9$ .

$\frac{9 + 35}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.3.7

Добавим $9$ и $35$ .

$\frac{44}{{(7 x + 1)}^{2}} + 3 x^{2}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + \frac{44}{{(7 x + 1)}^{2}}$