Математический анализ Примеры

$g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{3} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}$ и $g (x) = \tan^{3} (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 3

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + x + 1)}^{10}$ .

$3 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + 0))$

Этап 6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1))$

Этап 6.5.2

Изменим порядок членов.

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{10} + 10 \tan^{3} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1)$