Математический анализ Примеры

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 1$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x^{2} + 1$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ и $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + 2 x \arctan (x)$