Математический анализ Примеры

$g (x) = (7 x^{2} + 9) (8 x + \sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{2} + 9) (8 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 x^{2} + 9$ и $g (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}] + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 3.4

Умножим $8$ на $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Этап 9

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 10

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 12

Умножим $2$ на $7$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 13

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + 0)$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $14 x$ и $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x)$

Этап 14.2

Перенесем $14$ влево от $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (14 (8 x) + 14 x^{\frac{1}{2}}) x$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 (8 x) x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $8$ на $14$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x \cdot x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x^{1}) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{1 + 1} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Этап 15.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 15.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Этап 15.3.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 15.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Этап 15.3.10

Добавим $2$ и $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.4

Изменим порядок членов.

$112 x^{2} + (7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Развернем $(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$112 x^{2} + 7 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Умножим $8$ на $7$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $7 x^{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.4

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{7}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.5

Перенесем $7$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.6

Умножим $9$ на $8$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.5.2.7

Объединим $9$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.6

Добавим $112 x^{2}$ и $56 x^{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 15.7

Чтобы записать $14 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.8

Объединим $14 x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.10.1

Вынесем множитель $7 x^{\frac{3}{2}}$ из $7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.10.1.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.1.2

Вынесем множитель $7 x^{\frac{3}{2}}$ из $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.1.3

Вынесем множитель $7 x^{\frac{3}{2}}$ из $14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.1.4

Вынесем множитель $7 x^{\frac{3}{2}}$ из $7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.3

Добавим $1$ и $4$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.10.4

Умножим $5$ на $7$ .

$168 x^{2} + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$