Математический анализ Примеры

$g (x) = (3 x^{2} + 3 x - 3) e x$

Этап 1

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $(3 x^{2} + 3 x - 3) e x$ по $x$ равна $e \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 3 x - 3) x]$ .

$e \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 3 x - 3) x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} + 3 x - 3$ и $g (x) = x$ .

$e ((3 x^{2} + 3 x - 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e ((3 x^{2} + 3 x - 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Этап 3.2

Умножим $3 x^{2} + 3 x - 3$ на $1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x - 3])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 3 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3 + 0))$

Этап 3.11

Добавим $6 x + 3$ и $0$ .

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x + 3))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e (3 x^{2} + 3 x - 3 + x (6 x) + x \cdot 3)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e (3 x^{2}) + e (3 x) + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$3 \cdot e x^{2} + e (3 x) + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.2

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$3 e x^{2} + 3 \cdot e x + e \cdot - 3 + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.3

Перенесем $- 3$ влево от $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 \cdot e + e (x (6 x)) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 (x^{1} x)) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 (x^{1} x^{1})) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 x^{1 + 1}) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + e (6 x^{2}) + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.8

Перенесем $6$ влево от $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 \cdot e x^{2} + e (x \cdot 3)$

Этап 4.3.9

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 e x^{2} + e (3 \cdot x)$

Этап 4.3.10

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$3 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 6 e x^{2} + 3 \cdot e x$

Этап 4.3.11

Добавим $3 e x^{2}$ и $6 e x^{2}$ .

$9 e x^{2} + 3 e x - 3 e + 3 e x$

Этап 4.3.12

Добавим $3 e x$ и $3 e x$ .

$9 e x^{2} + 6 e x - 3 e$