Математический анализ Примеры

$G (w) = \frac{4}{3 w^{6}} + 6 \sqrt[4]{w}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{4}{3 w^{6}} + 6 \sqrt[4]{w}$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [\frac{4}{3 w^{6}}] + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{4}{3 w^{6}}] + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d w} [\frac{4}{3 w^{6}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{4}{3 w^{6}}$ по $w$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{6}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{6}}] + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{w^{6}}$ в виде ${(w^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [{(w^{6})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{- 1}$ и $g (w) = w^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $w^{6}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{6}]) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{6}]) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $w^{6}$ .

$\frac{4}{3} (- {(w^{6})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{6}]) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{4}{3} (- {(w^{6})}^{- 2} (6 w^{5})) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(w^{6})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} (- w^{6 \cdot - 2} (6 w^{5})) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.5.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{4}{3} (- w^{- 12} (6 w^{5})) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{4}{3} (- 6 w^{- 12} w^{5}) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.7

Умножим $w^{- 12}$ на $w^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $w^{5}$ .

$\frac{4}{3} (- 6 (w^{5} w^{- 12})) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{3} (- 6 w^{5 - 12}) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.7.3

Вычтем $12$ из $5$ .

$\frac{4}{3} (- 6 w^{- 7}) + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.8

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{3} w^{- 7} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.9

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{- 24}{3} w^{- 7} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.10

Объединим $\frac{- 24}{3}$ и $w^{- 7}$ .

$\frac{- 24 w^{- 7}}{3} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.11

Перенесем $w^{- 7}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 24}{3 w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.12

Сократим общий множитель $- 24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{3 w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 w^{7}$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{3 (w^{7})} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 8}{3 w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 8}{w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [6 \sqrt[4]{w}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{w}$ в виде $w^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{d}{d w} [6 w^{\frac{1}{4}}]$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $w$ , производная $6 w^{\frac{1}{4}}$ по $w$ равна $6 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{4}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 (\frac{1}{4} w^{- \frac{3}{4}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $w^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + 6 \frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 3.10

Объединим $6$ и $\frac{w^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{6 w^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 3.11

Перенесем $w^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{6}{4 w^{\frac{3}{4}}}$

Этап 3.12

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{2 (3)}{4 w^{\frac{3}{4}}}$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4 w^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{2 (3)}{2 (2 w^{\frac{3}{4}})}$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{2 \cdot 3}{2 (2 w^{\frac{3}{4}})}$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{w^{7}} + \frac{3}{2 w^{\frac{3}{4}}}$