Математический анализ Примеры

$g (v) = - 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $v$ , производная $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}$ по $v$ равна $- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ имеет вид $f' (g (v)) g' (v)$ , где $f (v) = v^{- 4}$ и $g (v) = 5 v - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 v - 3$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 v - 3$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $5 v - 3$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $v$ , производная $5 v$ по $v$ равна $5 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $v$ , производная $- 3$ относительно $v$ равна $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.7

Умножим $5$ на $1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.8

Добавим $5$ и $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \cdot 5) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.9

Умножим $5$ на $- 4$ .

$- 6 (- 20 {(5 v - 3)}^{- 5}) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 2.10

Умножим $- 20$ на $- 6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $v$ , производная $5 {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}$ по $v$ равна $5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}]$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{6}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {u_{2}}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\frac{1}{u_{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.8.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.9

Объединим $3$ и $\frac{1}{v^{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{3}{v^{3}} v^{2})) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.10

Объединим $\frac{3}{v^{3}}$ и $v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3 v^{2}}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $v^{2}$ и $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $3 v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.12

Объединим $\frac{6}{5}$ и ${\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5} \cdot \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.13

Умножим $\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5}$ на $\frac{3}{v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \cdot 3}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.14

Умножим $3$ на $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.15

Объединим $5$ и $\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.16

Умножим $18$ на $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.17

Вынесем множитель $5$ из $90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Вынесем множитель $5$ из $5 v$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 (v)} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.18.2

Сократим общий множитель.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.18.3

Перепишем это выражение.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Этап 4

Поскольку $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ является константой относительно $v$ , производная $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ относительно $v$ равна $0$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 \frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $120$ и $\frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}}$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Этап 5.2.2

Добавим $\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$ и $0$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}}$