Математический анализ Примеры

$g (v) = e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

$\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ имеет вид $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ , где $f (v) = e^{v}$ и $g (v) = \sin (v)$ .

$e^{v} \frac{d}{d v} [\sin (v)] + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (v)$ по $v$ равна $\cos (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [a^{v}]$ имеет вид $a^{v} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $v$ , производная $- 7 v \csc (v)$ по $v$ равна $- 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$

Этап 3.2

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v \frac{d}{d v} [\csc (v)] + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Этап 3.3

Производная $\csc (v)$ по $v$ равна $- \csc (v) \cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $\csc (v)$ на $1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v))) - 7 \csc (v)$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + 7 v (\csc (v) \cot (v)) - 7 \csc (v)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Выразим $\cot (v)$ через синусы и косинусы.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.2

Умножим $7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $7$ и $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + v \frac{7 \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.2.2

Объединим $v$ и $\frac{7 \cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{v (7 \cos (v))}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.3

Перенесем $7$ влево от $v$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 \cdot v \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.4

Выразим $\csc (v)$ через синусы и косинусы.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.5

Умножим $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)}$ на $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.5.2

Возведем $\sin (v)$ в степень $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.5.3

Возведем $\sin (v)$ в степень $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin^{1} (v)} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{{\sin (v)}^{1 + 1}} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \csc (v)$

Этап 4.4.6

Выразим $\csc (v)$ через синусы и косинусы.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \frac{1}{\sin (v)}$

Этап 4.4.7

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} + \frac{- 7}{\sin (v)}$

Этап 4.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $\sin (v)$ из $\sin^{2} (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.2

Разделим дроби.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cdot \frac{\cos (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.3

Переведем $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ в $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cot (v) - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.4

Объединим $\frac{7 v}{\sin (v)}$ и $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.5

Разделим дроби.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.6

Выразим $\cot (v)$ через синусы и косинусы.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.7

Перепишем $\frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)}$ в виде произведения.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\frac{\cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.1

Переведем $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ в $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.8.2

Переведем $\frac{1}{\sin (v)}$ в $\csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.9

Разделим $7 v$ на $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Этап 4.5.10

Разделим дроби.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\sin (v)})$

Этап 4.5.11

Переведем $\frac{1}{\sin (v)}$ в $\csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \csc (v))$

Этап 4.5.12

Разделим $7$ на $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (7 \csc (v))$

Этап 4.5.13

Умножим $7$ на $- 1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$

Этап 4.6

Изменим порядок множителей в $e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$