Математический анализ Примеры

$g (u) = 2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$ по $h$ равна $2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$ .

$2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = e^{h}$ и $g (h) = 5 h^{2} + 3 h$ .

$2 (e^{h} \frac{d}{d h} [5 h^{2} + 3 h] + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 h^{2} + 3 h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$2 (e^{h} (\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5 h^{2}$ по $h$ равна $5 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$2 (e^{h} (5 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (e^{h} (5 (2 h) + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (e^{h} (10 h + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $h$ , производная $3 h$ по $h$ равна $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \frac{d}{d h} [h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \cdot 1) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [a^{h}]$ имеет вид $a^{h} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + 5 h^{2} e^{h} + 3 h e^{h})$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{h} (10 h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $10$ на $2$ .

$20 (e^{h} (h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Этап 5.4.2

Перенесем $3$ влево от $e^{h}$ .

$20 e^{h} h + 2 (3 \cdot e^{h}) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Этап 5.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Этап 5.4.4

Умножим $5$ на $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 (h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Этап 5.4.5

Умножим $3$ на $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 (h e^{h})$

Этап 5.4.6

Добавим $20 e^{h} h$ и $6 h e^{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Перенесем $e^{h}$ .

$20 h e^{h} + 6 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Этап 5.4.6.2

Добавим $20 h e^{h}$ и $6 h e^{h}$ .

$26 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$

Этап 5.6

Изменим порядок множителей в $26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$ .

$26 h e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 e^{h}$