Математический анализ Примеры

$g (t) = 2 \ln (5 \ln (4 t))$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \ln (5 \ln (4 t))$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\ln (5 \ln (4 t))]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\ln (5 \ln (4 t))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = 5 \ln (4 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 \ln (4 t)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 \ln (4 t)$ .

$2 (\frac{1}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{5 \ln (4 t)}$ и $2$ .

$\frac{2}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)]$

Этап 3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 \ln (4 t)$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$ .

$\frac{2}{5 \ln (4 t)} (5 \frac{d}{d t} [\ln (4 t)])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{5 \ln (4 t)}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 3.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \ln (4 t)$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (\ln (4 t))} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 t$ .

$\frac{2}{\ln (4 t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{\ln (4 t)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 t$ .

$\frac{2}{\ln (4 t)} (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{4 t}$ на $\frac{2}{\ln (4 t)}$ .

$\frac{2}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 t \ln (4 t)$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 5.3

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2 t \ln (4 t)} (4 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 t \ln (4 t)}$ .

$\frac{4}{2 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t \ln (4 t)$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{t \ln (4 t)} \cdot 1$

Этап 5.6

Умножим $\frac{2}{t \ln (4 t)}$ на $1$ .

$\frac{2}{t \ln (4 t)}$