Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{t - t^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 1 + t + t^{2}$ и $g (t) = t - t^{3}$ .

$\frac{(t - t^{3}) \frac{d}{d t} [1 + t + t^{2}] - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + t + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t - t^{3}) (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + \frac{d}{d t} [t^{2}]) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) \frac{d}{d t} [t - t^{3}]}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $t - t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{3}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - (3 t^{2}))}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) - (1 + t + t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t - t^{3}) (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(t - t^{3}) (1 + 2 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t (1 + 2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} (1 + 2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t \cdot 1 + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{t + t (2 t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t + 2 t \cdot t - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t + 2 (t \cdot t) - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} \cdot 1 - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - t^{3} (2 t) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{3} t + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.6.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.6.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{3}) + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{1 + 3} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 \cdot 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} + (- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Развернем $(- 1 - t - t^{2}) (1 - 3 t^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 \cdot 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 - 1 (- 3 t^{2}) - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t \cdot 1 - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - t (- 3 t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t \cdot t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.5

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.5.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.5.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{2 + 1} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t - 1 \cdot - 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - t^{2} (- 3 t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2} t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.9

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.9.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 (t^{2} t^{2})}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{2 + 2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.9.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} - 1 \cdot - 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.10

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 3 t^{2} - t + 3 t^{3} - t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.1.6

Вычтем $t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $t + 2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} - t + 3 t^{3} + 3 t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 0 + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 2 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $2 t^{2}$ и $2 t^{2}$ .

$\frac{- t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{3} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $- t^{3}$ и $3 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t^{4} - 1 + 4 t^{2} + 3 t^{4}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Добавим $- 2 t^{4}$ и $3 t^{4}$ .

$\frac{2 t^{3} + t^{4} - 1 + 4 t^{2}}{{(t - t^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(- t^{3} + t)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $t$ из $- t^{3} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $t$ из $- t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t^{1})}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2}) + t \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t (- t^{2}) + t \cdot 1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (- t^{2} + 1^{2}))}^{2}}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок $- t^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1^{2} - t^{2}))}^{2}}$

Этап 3.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t) (1 - t))}^{2}}$

Этап 3.4.5

Применим правило умножения к $t (1 + t) (1 - t)$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t (1 + t))}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t \cdot 1 + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t \cdot t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{{(t + t^{2})}^{2} {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Перепишем ${(t + t^{2})}^{2}$ в виде $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t + t^{2}) (t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.10

Развернем $(t + t^{2}) (t + t^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t (t + t^{2}) + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} (t + t^{2})) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t \cdot t + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t \cdot t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.2.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1} t^{2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{1 + 2} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.3

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.3.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.3.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2} t^{1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{2 + 1} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.4

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{2 + 2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.1.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + t^{3} + t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.11.2

Добавим $t^{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.12

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} + 2 t^{3} + t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Умножим на $1$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + 2 t^{3} + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.12.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{4}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.12.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{4}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.12.4

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (2 t)$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{(t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.12.5

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} \cdot (1 + 2 t) + t^{2} t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1 + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.13

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.13.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 t = 2 \cdot 1 \cdot t$

Этап 3.4.13.3

Перепишем многочлен.

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot t + t^{2}) {(1 - t)}^{2}}$

Этап 3.4.13.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = t$ .

$\frac{t^{4} + 2 t^{3} + 4 t^{2} - 1}{t^{2} {(1 + t)}^{2} {(1 - t)}^{2}}$