Математический анализ Примеры

$G (t) = {(1 - e^{2 t})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 1 - e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - e^{2 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 - e^{2 t}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [1 - e^{2 t}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - e^{2 t}$ .

$2 (1 - e^{2 t}) \frac{d}{d t} [1 - e^{2 t}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - e^{2 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$2 (1 - e^{2 t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 (1 - e^{2 t}) (0 + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$2 (1 - e^{2 t}) \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{2 t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$2 (1 - e^{2 t}) (- \frac{d}{d t} [e^{2 t}])$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (1 - e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 t$ .

$- 2 (1 - e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 (1 - e^{2 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$- 2 (1 - e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 (1 - e^{2 t}) (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 (1 - e^{2 t}) (e^{2 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (1 - e^{2 t}) (e^{2 t} \cdot 1)$

Этап 4.4

Умножим $e^{2 t}$ на $1$ .

$- 4 (1 - e^{2 t}) e^{2 t}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 4 \cdot 1 - 4 (- e^{2 t})) e^{2 t}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \cdot 1 e^{2 t} - 4 (- e^{2 t}) e^{2 t}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 e^{2 t} - 4 (- e^{2 t}) e^{2 t}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 4 e^{2 t} + 4 e^{2 t} e^{2 t}$

Этап 5.3.3

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{2 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перенесем $e^{2 t}$ .

$- 4 e^{2 t} + 4 (e^{2 t} e^{2 t})$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 e^{2 t} + 4 e^{2 t + 2 t}$

Этап 5.3.3.3

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$- 4 e^{2 t} + 4 e^{4 t}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$4 e^{4 t} - 4 e^{2 t}$